ریاضی هشتم، معرفی عددهای گویا + حل سوالات با فیلم‌های آموزشی به زبان بسیار ساده و طنزآمیز

عددهای گویا چیستند؟

قبل از اینکه بریم سراغ حل سؤال‌ها، اول ببینیم اصلاً عدد گویا یعنی چی.

به عددهایی که بتوان آن‌ها را به شکل یک کسر نوشت، به‌طوری‌که صورت و مخرج عددهای صحیح باشند و مخرج صفر نباشد، عدد گویا می‌گوییم.

یعنی اگر عددی را بتوانیم به شکل زیر بنویسیم، آن عدد گویاست:

$$
\frac{a}{b}
$$

که در آن، $$a$$ و $$b$$ عدد صحیح هستند و:

$$
b \neq 0
$$

مثلاً کسرهای زیر همگی عدد گویا هستند:

$$
\frac{2}{3}
\qquad
-\frac{5}{7}
\qquad
\frac{8}{1}
\qquad
-\frac{12}{4}
$$

حتی عددهای صحیح هم جزو عددهای گویا هستند! چون هر عدد صحیح را می‌توان به صورت کسری با مخرج یک نوشت. مثلاً:

$$
7=\frac{7}{1}
$$

یا:

$$
-3=\frac{-3}{1}
$$

پس خلاصه اینکه در معرفی اعداد گویا ریاضی هشتم باید حواسمان باشد که عددهای صحیح هم عضوی از خانوادهٔ عددهای گویا هستند.

حالا که فهمیدیم عدد گویا چیست، بریم سراغ سؤال‌ها و ببینیم این داستان در عمل چطور کار می‌کند.

نکته: حتماً قبل یا بعد از حل تمرین‌ها، فیلم آموزشی این مقاله را هم ببین. در فیلم، مبحث ریاضی هشتم معرفی عددهای گویا با مثال و چاشنی طنز توضیح داده شده و می‌تواند فهم مطلب را خیلی راحت‌تر کند.

سؤال ۱ ــ عددهای گویا روی محور

روی یک محور، فاصله بین عددهای صحیح به 6 قسمت مساوی تقسیم شده است.

الف) عددی را که سه قسمت بعد از 2- قرار دارد را به صورت کسر بنویسید.

ب) عددی را که دو قسمت قبل از 1 قرار دارد را به صورت کسر بنویسید.

ج) قرینه هر دو عدد به دست آمده را مشخص کنید.

حل سؤال: وقتی فاصلهٔ بین دو عدد صحیح به ۶ قسمت مساوی تقسیم شده باشد، یعنی هر قسمت برابر با یک‌ششم فاصلهٔ بین دو عدد صحیح است.

پس هر حرکت کوچک روی محور، یعنی:

$$
\frac{1}{6}
$$

واحد.

الف) سه قسمت بعد از 2-

از 2- شروع می‌کنیم و سه قسمت به سمت راست می‌رویم.

هر قسمت برابر است با:

$$
\frac{1}{6}
$$

پس سه قسمت می‌شود:

$$
\frac{3}{6}
$$

حالا از 2- به‌اندازهٔ ۳ ششم جلو می‌رویم:

$$
-2+\frac{3}{6}
$$

عدد 2- را هم به صورت کسر می‌نویسیم:

$$
-\frac{12}{6}+\frac{3}{6}
$$

بنابراین:

$$
-\frac{9}{6}
$$

پس جواب قسمت الف:

$$
\boxed{-\frac{9}{6}}
$$

البته اگر بخواهیم کسر را ساده کنیم:

$$
-\frac{9}{6}=-\frac{3}{2}
$$

پس عدد موردنظر برابر است با:

$$
\boxed{-\frac{3}{2}}
$$

ب) دو قسمت قبل از 1

این بار از عدد 1 شروع می‌کنیم و دو قسمت به سمت چپ می‌رویم.

دو قسمت برابر است با:

$$
\frac{2}{6}
$$

پس:

$$
1-\frac{2}{6}
$$

عدد 1 را به صورت کسر با مخرج ۶ می‌نویسیم:

$$
\frac{6}{6}-\frac{2}{6}=\frac{4}{6}
$$

پس:

$$
\boxed{\frac{4}{6}}
$$

و با ساده‌کردن:

$$
\boxed{\frac{2}{3}}
$$

بنابراین جواب قسمت ب برابر با:

$$
\boxed{\frac{2}{3}}
$$

ج) قرینهٔ دو عدد

قرینهٔ یک عدد یعنی عددی که اگر این دو عدد را با هم جمع کنیم، حاصل صفر شود.

قرینهٔ:

$$
-\frac{3}{2}
$$

می‌شود:

$$
\frac{3}{2}
$$

و قرینهٔ:

$$
\frac{2}{3}
$$

می‌شود:

$$
-\frac{2}{3}
$$

پس جواب قسمت ج:

$$
\boxed{\frac{3}{2}}
$$

و:

$$
\boxed{-\frac{2}{3}}
$$

سؤال ۲ ــ تبدیل کسر و عدد مخلوط

عددهای زیر را به شکل خواسته شده تبدیل کنید:

الف) $$\frac{{23}}{6}$$ را به عدد مخلوط تبدیل کنید.

ب) $$-\frac{{20}}{4}$$ را به عدد مخلوط تبدیل کنید.

ج) $$3\frac{2}{7}$$ را به کسر تبدیل کنید.

د) $$-2\frac{3}{5}$$ را به صورت یک کسر بنویسید.

الف) تبدیل $$\frac{23}{6}$$ به عدد مخلوط

برای تبدیل یک کسر بزرگ‌تر از یک به عدد مخلوط، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم.

$$
23\div6=3
$$

و باقی‌مانده برابر است با:

$$
5
$$

پس:

$$
\frac{23}{6}=3\frac{5}{6}
$$

بنابراین:

$$
\boxed{3\frac{5}{6}}
$$

یعنی ۲۳ تا ششم داریم؛ ۱۸ تا از آن‌ها می‌شود ۳ واحد کامل و ۵ تا هم باقی می‌ماند. کسر هم گفت: «من هنوز یه کاری باهات دارم!» 😄

ب) تبدیل $$-\frac{20}{4}$$ به عدد مخلوط

ابتدا مقدار کسر را حساب می‌کنیم:

$$
\frac{20}{4}=5
$$

پس:

$$
-\frac{20}{4}=-5
$$

عدد 5 یک عدد صحیح است و دیگر بخش کسری ندارد.

بنابراین جواب:

$$
\boxed{-5}
$$

ج) تبدیل $$3\frac{2}{7}$$ به کسر

برای تبدیل عدد مخلوط به کسر، ابتدا عدد صحیح را در مخرج ضرب می‌کنیم و سپس صورت را به آن اضافه می‌کنیم.

$$
3\times7+2=23
$$

پس:

$$
3\frac{2}{7}=\frac{23}{7}
$$

بنابراین:

$$
\boxed{\frac{23}{7}}
$$

د) تبدیل $$-2\frac{3}{5}$$ به کسر

اول قسمت عدد صحیح را در مخرج ضرب می‌کنیم:

$$
2\times5=10
$$

بعد صورت را اضافه می‌کنیم:

$$
10+3=13
$$

چون کل عدد منفی است، علامت منفی را هم روی کسر قرار می‌دهیم:

$$
-2\frac{3}{5}=-\frac{13}{5}
$$

پس:

$$
\boxed{-\frac{13}{5}}
$$

سؤال ۳ ــ به‌دست‌آوردن مقدار x

مقدار x را در هر عبارت به دست آورید:

$$
\frac{5}{8}=\frac{x}{40}
$$

$$
\frac{-7}{9}=\frac{21}{x}
$$

$$
\frac{x}{18}=\frac{-4}{6}
$$

$$
\frac{15}{x}=\frac{-5}{8}
$$

برای حل این مدل سؤال‌ها می‌توانیم از ضرب طرفین وسطین استفاده کنیم.

یعنی اگر داشته باشیم:

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}
$$

می‌توانیم بنویسیم:

$$
a\times d=b\times c
$$

حالا یکی‌یکی بریم سراغ سؤال‌ها.

الف)

$$
\frac{5}{8}=\frac{x}{40}
$$

ضرب طرفین وسطین:

$$
5\times40=8\times x
$$

پس:

$$
200=8x
$$

بنابراین:

$$
x=25
$$

پس:

$$
\boxed{x=25}
$$

ب)

$$
\frac{-7}{9}=\frac{21}{x}
$$

ضرب طرفین وسطین:

$$
-7x=9\times21
$$

پس:

$$
-7x=189
$$

دو طرف را بر 7- تقسیم می‌کنیم:

$$
x=-27
$$

بنابراین:

$$
\boxed{x=-27}
$$

ج)

$$
\frac{x}{18}=\frac{-4}{6}
$$

ضرب طرفین وسطین:

$$
6x=18\times(-4)
$$

پس:

$$
6x=-72
$$

بنابراین:

$$
x=-12
$$

پس:

$$
\boxed{x=-12}
$$

د)

$$
\frac{15}{x}=\frac{-5}{8}
$$

ضرب طرفین وسطین:

$$
15\times8=-5x
$$

پس:

$$
120=-5x
$$

دو طرف را بر 5- تقسیم می‌کنیم:

$$
x=-24
$$

بنابراین:

$$
\boxed{x=-24}
$$

سؤال ۴ ــ ساده‌کردن کسرها

کسرهای زیر را تا حد امکان ساده کنید:

$$
\frac{-84}{126}
$$

$$
\frac{144}{-192}
$$

$$
\frac{-225}{-300}
$$

$$
\frac{(-7)\times18}{21\times(-6)}
$$

برای ساده‌کردن کسر، صورت و مخرج را بر یک عدد مشترک تقسیم می‌کنیم. هرچه بزرگ‌ترین عامل مشترک را راحت‌تر پیدا کنیم، کارمان سریع‌تر پیش می‌رود.

الف)

$$
\frac{-84}{126}
$$

بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ۸۴ و ۱۲۶ برابر با ۴۲ است.

پس صورت و مخرج را بر ۴۲ تقسیم می‌کنیم:

$$
\frac{-84\div42}{126\div42}
$$

بنابراین:

$$
\boxed{-\frac{2}{3}}
$$

ب)

$$
\frac{144}{-192}
$$

منفی بودن مخرج یعنی کل کسر منفی است. پس می‌توانیم علامت منفی را به صورت منتقل کنیم:

$$
-\frac{144}{192}
$$

حالا صورت و مخرج را بر ۴۸ تقسیم می‌کنیم:

$$
-\frac{144\div48}{192\div48}
$$

پس:

$$
\boxed{-\frac{3}{4}}
$$

ج)

$$
\frac{-225}{-300}
$$

اینجا هم صورت منفی است و هم مخرج منفی.

منفی تقسیم بر منفی می‌شود مثبت:

$$
\frac{-225}{-300}=\frac{225}{300}
$$

حالا صورت و مخرج را بر ۷۵ تقسیم می‌کنیم:

$$
\frac{225\div75}{300\div75}
$$

پس:

$$
\boxed{\frac{3}{4}}
$$

د)

$$
\frac{(-7)\times18}{21\times(-6)}
$$

اول می‌توانیم علامت‌های منفی را بررسی کنیم.

در صورت یک علامت منفی داریم و در مخرج هم یک علامت منفی؛ پس منفی‌ها همدیگر را خنثی می‌کنند:

$$
\frac{7\times18}{21\times6}
$$

حالا می‌توانیم قبل از ضرب‌کردن، عامل‌های مشترک را ساده کنیم:

$$
\frac{7\times18}{21\times6}
$$

عدد ۷ با ۲۱ ساده می‌شود:

$$
\frac{1\times18}{3\times6}
$$

و ۱۸ با ۶:

$$
\frac{1\times3}{3\times1}
$$

پس:

$$
\boxed{1}
$$

بنابراین جواب نهایی قسمت د برابر با ۱ است.

جمع‌بندی معرفی عددهای گویا ریاضی هشتم

در این آموزش، با مفهوم عددهای گویا آشنا شدیم و چند مدل سؤال مهم از مبحث ریاضی هشتم معرفی عددهای گویا را حل کردیم.

یاد گرفتیم که:

• عددهای گویا را می‌توان به شکل کسر نوشت.
• مخرج کسر نباید صفر باشد.
• عددهای صحیح هم جزو عددهای گویا هستند.
• برای تبدیل کسر به عدد مخلوط، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم.
• برای تبدیل عدد مخلوط به کسر، عدد صحیح را در مخرج ضرب و سپس صورت را اضافه می‌کنیم.
• برای پیدا کردن مقدار مجهول در تساوی کسرها می‌توانیم از ضرب طرفین وسطین استفاده کنیم.
• برای ساده‌کردن کسر، صورت و مخرج را بر عامل مشترک تقسیم می‌کنیم.
• در بررسی علامت‌ها باید حواسمان به منفی بودن صورت و مخرج باشد.

اگر دنبال آموزش ریاضی هشتم معرفی عددهای گویا به زبان ساده هستی، فقط حل‌کردن تمرین‌ها کافی نیست؛ حتماً فیلم آموزشی همین صفحه را هم ببین. در این فیلم، مبحث ریاضی هشتم درس معرفی عددهای گویا به زبان ساده و با چاشنی طنز تدریس شده تا هم مفهوم را بهتر متوجه شوی و هم حل تمرین‌ها برایت راحت‌تر شود.

این آموزش بخشی از مجموعهٔ توضیح فصل اول ریاضی هشتم معرفی عددهای گویا است و می‌تواند برای دانش‌آموزانی که می‌خواهند مبحث ریاضی پایه هشتم معرفی عددهای گویا را از پایه یاد بگیرند، مفید باشد.