ریاضی هشتم؛ جمع و تفریق عددهای گویا + فیلم‌های آموزشی به زبان بسیار ساده و طنزگونه

جمع و تفریق عددهای گویا یعنی چه؟

قبل از اینکه برویم سراغ حل سؤال‌ها، بهتر است ببینیم اصلاً عدد گویا چیست و برای جمع و تفریق آن‌ها باید چه‌کار کنیم.

هر عددی که بتوان آن را به شکل کسر نوشت، به‌طوری‌که صورت و مخرج آن عدد صحیح باشند و مخرج صفر نباشد، یک عدد گویا است.

مثلاً عددهای زیر گویا هستند:

$$
\frac{3}{5},\quad -\frac{7}{4},\quad 2,\quad -3
$$

عددهای صحیح هم در واقع عدد گویا هستند؛ چون می‌توانیم آن‌ها را به شکل کسری با مخرج یک بنویسیم. مثلاً:

$$
2=\frac{2}{1}
$$

روش جمع عددهای گویا

برای جمع دو کسر، اگر مخرج‌ها برابر باشند، صورت‌ها را با هم جمع می‌کنیم و مخرج را همان مخرج نگه می‌داریم.

مثلاً:

$$
\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}
$$

اگر مخرج‌ها متفاوت باشند، ابتدا باید مخرج مشترک پیدا کنیم و بعد کسرها را با هم جمع کنیم.

مثلاً:

$$
\frac{1}{3}+\frac{1}{6}
$$

مخرج مشترک ۶ است:

$$
\frac{1}{3}=\frac{2}{6}
$$

پس:

$$
\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
$$

روش تفریق عددهای گویا

در تفریق عددهای گویا هم یک ترفند مهم داریم:

تفریق را می‌توانیم به جمع قرینه تبدیل کنیم.

یعنی:

$$
a-b=a+(-b)
$$

مثلاً:

$$
\frac{3}{4}-\frac{1}{2}
$$

را می‌توانیم این‌طور بنویسیم:

$$
\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)
$$

حالا مثل یک جمع معمولی آن را حساب می‌کنیم:

$$
\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}
$$

پس یکی از مهم‌ترین نکته‌ها در تفریق اعداد گویا ریاضی هشتم این است که علامت تفریق را به جمع قرینه تبدیل کنیم.

حالا که این نکته را یاد گرفتیم، برویم سراغ سؤال‌ها.

حل نمونه‌سؤال جمع و تفریق عددهای گویا

در ادامه چند نمونه سؤال ریاضی هشتم جمع و تفریق اعداد گویا را مرحله‌به‌مرحله حل می‌کنیم.

سؤال ۱

عبارت‌ها را به صورت جمع دو عدد گویا بنویسید و حاصل را به‌دست آورید

$$
\begin{gathered}
-\frac{7}{9}-\frac{5}{6}\
\frac{11}{12}-\left(-\frac{3}{8}\right)\
-2\frac{1}{5}-1\frac{3}{10}\
-\frac{4}{7}-\left(-2\frac{1}{3}\right)
\end{gathered}
$$

الف)

ابتدا تفریق را به جمع قرینه تبدیل می‌کنیم:

$$
-\frac{7}{9}+\left(-\frac{5}{6}\right)
$$

حالا مخرج مشترک ۱۸ است:

$$
-\frac{7}{9}=-\frac{14}{18}
$$

و:

$$
-\frac{5}{6}=-\frac{15}{18}
$$

پس:

$$
-\frac{29}{18}
$$

بنابراین جواب:

$$
\boxed{-\frac{29}{18}}
$$

یا به صورت عدد مخلوط:

$$
\boxed{-1\frac{11}{18}}
$$

ب)

در این قسمت یک منفی داریم که جلوی یک عدد منفی قرار گرفته است. منفیِ منفی یعنی مثبت!

$$
\frac{11}{12}+\frac{3}{8}
$$

مخرج مشترک ۲۴ است:

$$
\frac{11}{12}=\frac{22}{24}
$$

و:

$$
\frac{3}{8}=\frac{9}{24}
$$

بنابراین:

$$
\frac{31}{24}
$$

پس:

$$
\boxed{\frac{31}{24}}
$$

یا:

$$
\boxed{1\frac{7}{24}}
$$

ج)

اول عددهای مخلوط را به کسر تبدیل می‌کنیم:

$$
2\frac{1}{5}=\frac{11}{5}
$$

و:

$$
1\frac{3}{10}=\frac{13}{10}
$$

پس عبارت داریم:

$$
-\frac{11}{5}-\frac{13}{10}
$$

تفریق را به جمع قرینه تبدیل می‌کنیم:

$$
-\frac{11}{5}+\left(-\frac{13}{10}\right)
$$

مخرج مشترک ۱۰ است:

$$
-\frac{11}{5}=-\frac{22}{10}
$$

بنابراین:

$$
-\frac{35}{10}
-\frac{7}{2}
$$

پس جواب:

$$
\boxed{-\frac{7}{2}}
$$

یا:

$$
\boxed{-3\frac{1}{2}}
$$

د)

ابتدا عدد مخلوط را به کسر تبدیل می‌کنیم:

$$
2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}
$$

حالا:

$$
-\frac{4}{7}-\left(-\frac{7}{3}\right)
$$

منفیِ منفی را به مثبت تبدیل می‌کنیم:

$$
-\frac{4}{7}+\frac{7}{3}
$$

مخرج مشترک ۲۱ است:

$$
-\frac{4}{7}=-\frac{12}{21}
$$

و:

$$
\frac{7}{3}=\frac{49}{21}
$$

پس:

$$
\frac{37}{21}
$$

بنابراین:

$$
\boxed{\frac{37}{21}}
$$

یا:

$$
\boxed{1\frac{16}{21}}
$$

سؤال ۲

در هر قسمت مقدار x را کنید:

$$
\begin{gathered}
x+\frac{7}{12}=-\frac{1}{6}\
x-\left(-\frac{5}{8}\right)=\frac{1}{4}\
-\frac{3}{5}-x=-\frac{11}{10}\
x+\left(-1\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{6}
\end{gathered}
$$

الف)

داریم:

$$
x+\frac{7}{12}=-\frac{1}{6}
$$

برای اینکه x تنها بماند، باید از دو طرف $$\frac{7}{12}$$ کم کنیم:

$$
x=-\frac{1}{6}-\frac{7}{12}
$$

مخرج مشترک ۱۲ است:

$$
-\frac{1}{6}=-\frac{2}{12}
$$

پس:

$$
x=-\frac{2}{12}-\frac{7}{12}
$$

بنابراین:

$$
x=-\frac{9}{12}=-\frac{3}{4}
$$

پس:

$$
\boxed{x=-\frac{3}{4}}
$$

ب)

داریم:

$$
x-\left(-\frac{5}{8}\right)=\frac{1}{4}
$$

منفیِ منفی تبدیل به مثبت می‌شود:

$$
x+\frac{5}{8}=\frac{1}{4}
$$

حالا از دو طرف $$\frac{5}{8}$$ کم می‌کنیم:

$$
x=\frac{1}{4}-\frac{5}{8}
$$

مخرج مشترک ۸ است:

$$
\frac{1}{4}=\frac{2}{8}
$$

پس:

$$
-\frac{3}{8}
$$

بنابراین:

$$
\boxed{x=-\frac{3}{8}}
$$

ج)

داریم:

$$
-\frac{3}{5}-x=-\frac{11}{10}
$$

برای پیدا کردن x، می‌توانیم ابتدا از دو طرف $$-\frac{3}{5}$$ کم کنیم:

$$
-x=-\frac{11}{10}+\frac{3}{5}
$$

مخرج مشترک ۱۰:

$$
\frac{3}{5}=\frac{6}{10}
$$

پس:

$$
-\frac{5}{10}
-\frac{1}{2}
$$

حالا دو طرف را در منفی یک ضرب می‌کنیم:

$$
x=\frac{1}{2}
$$

پس:

$$
\boxed{x=\frac{1}{2}}
$$

د)

داریم:

$$
x+\left(-1\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{6}
$$

ابتدا عدد مخلوط را به کسر تبدیل می‌کنیم:

$$
1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}
$$

پس:

$$
x-\frac{5}{3}=\frac{5}{6}
$$

برای اینکه x تنها بماند، $$\frac{5}{3}$$ را به دو طرف اضافه می‌کنیم:

$$
x=\frac{5}{6}+\frac{5}{3}
$$

مخرج مشترک ۶ است:

$$
\frac{5}{3}=\frac{10}{6}
$$

بنابراین:

$$
\frac{15}{6}
\frac{5}{2}
$$

پس:

$$
\boxed{x=\frac{5}{2}}
$$

سؤال ۳

مقایسه کنید:

$$
\begin{gathered}
\frac{5}{6}\square\frac{1}{4}-\frac{7}{12}\
-\frac{3}{5}\square\frac{7}{10}-\frac{13}{10}\
-\frac{2}{3}\square-\frac{5}{6}-\frac{1}{6}\
\frac{9}{8}\square-\frac{3}{4}-\frac{3}{8}
\end{gathered}
$$

در هر قسمت ابتدا عبارت سمت راست را حساب می‌کنیم و بعد دو عدد را با هم مقایسه می‌کنیم.

الف)

ابتدا سمت راست را حساب می‌کنیم:

$$
\frac{1}{4}-\frac{7}{12}
$$

مخرج مشترک ۱۲ است:

$$
\frac{1}{4}=\frac{3}{12}
$$

پس:

$$
-\frac{4}{12}
-\frac{1}{3}
$$

حالا داریم:

$$
\frac{5}{6}\square-\frac{1}{3}
$$

یک عدد مثبت همیشه از یک عدد منفی بزرگ‌تر است. بنابراین:

$$
\boxed{\frac{5}{6}>-\frac{1}{3}}
$$

پس علامت مناسب:

$$
\boxed{>}
$$

ب)

سمت راست را حساب می‌کنیم:

$$
-\frac{6}{10}
-\frac{3}{5}
$$

پس:

$$
-\frac{3}{5}\square-\frac{3}{5}
$$

دو طرف با هم برابرند:

$$
\boxed{-\frac{3}{5}=-\frac{3}{5}}
$$

بنابراین علامت مناسب:

$$
\boxed{=}
$$

ج)

سمت راست:

$$
-\frac{6}{6}
-1
$$

حالا:

$$
-\frac{2}{3}\square-1
$$

چون $$-\frac{2}{3}$$ به صفر نزدیک‌تر است، از منفی یک بزرگ‌تر است.

پس:

$$
\boxed{-\frac{2}{3}>-1}
$$

بنابراین علامت مناسب:

$$
\boxed{>}
$$

د)

سمت راست را حساب می‌کنیم:

$$
-\frac{3}{4}-\frac{3}{8}
$$

مخرج مشترک ۸:

$$
-\frac{3}{4}=-\frac{6}{8}
$$

پس:

$$
-\frac{9}{8}
$$

حالا داریم:

$$
\frac{9}{8}\square-\frac{9}{8}
$$

یک طرف مثبت و طرف دیگر منفی است؛ پس:

$$
\boxed{\frac{9}{8}>-\frac{9}{8}}
$$

بنابراین علامت مناسب:

$$
\boxed{>}
$$

نکته‌های مهم جمع و تفریق عددهای گویا

برای حل سؤال‌های ریاضی هشتم فصل ۱ جمع و تفریق عددهای گویا چند نکته را همیشه یادت باشد:

۱. تفریق را می‌توان به جمع قرینه تبدیل کرد

این یکی از مهم‌ترین ترفندهای این درس است:

$$
a-b=a+(-b)
$$

مثلاً:

$$
\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{5}\right)
$$

۲. منفیِ منفی، مثبت می‌شود

مثلاً:

$$
-\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{4}
$$

پس وقتی دو علامت منفی کنار هم دیدی، یک نفس عمیق بکش و نترس! 😄

۳. برای کسرهایی با مخرج متفاوت، مخرج مشترک پیدا کن

مثلاً برای:

$$
\frac{1}{4}+\frac{2}{3}
$$

مخرج مشترک ۱۲ است:

$$
\frac{1}{4}=\frac{3}{12}
$$

و:

$$
\frac{2}{3}=\frac{8}{12}
$$

بنابراین:

$$
\frac{3}{12}+\frac{8}{12}
\frac{11}{12}
$$

۴. عددهای مخلوط را می‌توان به کسر تبدیل کرد

مثلاً:

$$
2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}
$$

این کار در بسیاری از سؤال‌های جمع و تفریق، محاسبه را راحت‌تر می‌کند.

فیلم آموزش جمع و تفریق عددهای گویا ریاضی هشتم

اگر هنوز در ریاضی هشتم جمع و تفریق عددهای گویا بعضی قسمت‌ها برایت گنگ است، حتماً فیلم تدریس این درس را هم ببین.

در این فیلم، مبحث جمع و تفریق اعداد گویا هشتم را با توضیح ساده و چاشنی طنز آموزش داده‌ایم تا فقط فرمول‌ها را حفظ نکنی و واقعاً متوجه شوی چرا و چطور باید سؤال‌ها را حل کنی.

🎬 پیشنهاد ما: قبل یا بعد از حل تمرین‌های این مقاله، حتماً فیلم را ببین و بعد یک‌بار خودت سؤال‌ها را بدون نگاه‌کردن به پاسخ‌ها حل کن. این روش برای یادگیری خیلی بهتر از این است که فقط جواب آخر را نگاه کنی.

اگر به دنبال آموزش‌های بیشتر هستی، در سایت درس من می‌توانی آموزش‌ها و تمرین‌های مرتبط با ریاضی پایه هشتم را هم دنبال کنی.

جمع‌بندی

در این مطلب، ریاضی هشتم فصل اول جمع و تفریق عددهای گویا را با چند نمونه‌سؤال بررسی کردیم. یاد گرفتیم که در تفریق عددهای گویا می‌توانیم تفریق را به جمع قرینه تبدیل کنیم، برای کسرهای مختلف مخرج مشترک بگیریم و در صورت نیاز عددهای مخلوط را به کسر تبدیل کنیم.

پس اگر دنبال توضیح فصل اول ریاضی هشتم جمع و تفریق اعداد گویا هستی، مهم‌ترین نکته این است که اول علامت‌ها را درست مدیریت کنی و بعد سراغ محاسبه بروی. خیلی از اشتباه‌های این درس نه از سخت‌بودن ریاضی، بلکه از یک «منفیِ بی‌خبر» می‌آیند! 😄

با حل چند نمونه سؤال ریاضی هشتم جمع و تفریق اعداد گویا و دیدن فیلم آموزشی، این مبحث کم‌کم برایت کاملاً جا می‌افتد.