ریاضی هشتم فصل اول ضرب و تقسیم اعداد گویا با جواب + فیلم‌های آموزشی به زبان فوق ساده و طنزگونه

ضرب و تقسیم عددهای گویا چیست؟

قبل از اینکه برویم سراغ سؤال‌ها، اول ببینیم اصلاً عدد گویا چیست و در ریاضی هشتم ضرب و تقسیم عددهای گویا قرار است چه کاری انجام بدهیم.

عددهای گویا عددهایی هستند که بتوان آن‌ها را به شکل کسر نوشت؛ یعنی به‌صورت زیر:

$$
\frac{a}{b}
$$

که در آن، صورت و مخرج عدد صحیح هستند و مخرج نباید صفر باشد.

مثلاً عددهای زیر گویا هستند:

$$
\frac{3}{5},\quad -\frac{7}{8},\quad 4,\quad -2
$$

چون هر عدد صحیح را هم می‌توان به شکل یک کسر با مخرج ۱ نوشت.

ضرب عددهای گویا

برای ضرب دو کسر، صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها را نیز در هم ضرب می‌کنیم:

$$
\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}
$$

اما یک نکته مهم‌تر هم داریم: علامت حاصل.

اگر دو عدد هم‌علامت باشند، حاصل ضرب مثبت است و اگر دو عدد مختلف‌العلامت باشند، حاصل ضرب منفی می‌شود.

یعنی:

$$
(+)\times(+)=+
$$

$$
(-)\times(-)=+
$$

$$
(+)\times(-)=-
$$

$$
(-)\times(+) = –
$$

پس قبل از اینکه دست به حساب و کتاب بزنیم، بهتر است اول علامت حاصل را مشخص کنیم. این کار جلوی خیلی از اشتباهات را می‌گیرد.

تقسیم عددهای گویا

در تقسیم دو کسر، کسر اول را در معکوس کسر دوم ضرب می‌کنیم:

$$
\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}
$$

مثلاً:

$$
\frac{2}{3}\times\frac{7}{5}
\frac{14}{15}
$$

پس در تقسیم کسرها، کافی است کسر دوم را برعکس کنیم و بعد ضرب کنیم. همین! کسر دوم فقط یک چرخش ۱۸۰ درجه‌ای انجام می‌دهد و می‌آید سراغ ما! 😄

فیلم آموزش ضرب و تقسیم عددهای گویا

در کنار توضیحات این مقاله، یک فیلم تدریس ضرب و تقسیم عددهای گویا با چاشنی طنز هم آماده شده است.

حتماً قبل یا بعد از حل سؤال‌ها فیلم را ببین تا روش حل این مبحث را به‌صورت تصویری و ساده یاد بگیری. مخصوصاً اگر با علامت‌های مثبت و منفی یا تبدیل تقسیم به ضرب کمی مشکل داری، فیلم می‌تواند حسابی کمکت کند.

حل سؤال‌های ریاضی هشتم؛ ضرب و تقسیم عددهای گویا

حالا که مفهوم اصلی را یاد گرفتیم، برویم سراغ سؤال‌ها.

سؤال ۱

ابتدا علامت حاصل را مشخص کرده و سپس حاصل را به دست آورید:

$$
\begin{gathered}
\left( { – \frac{7}{{12}}} \right) \times \left( { + \frac{{18}}{{35}}} \right) \hfill \
\left( { – \frac{{15}}{{22}}} \right) \times \left( { – \frac{{11}}{{25}}} \right) \hfill \
\left( { + \frac{9}{{14}}} \right) \div \left( { – \frac{{27}}{{28}}} \right) \hfill \
\left( { – \frac{{16}}{{21}}} \right) \div \left( { – \frac{8}{{15}}} \right) \hfill \
\end{gathered}
$$

الف) عبارت اول

ابتدا علامت را مشخص می‌کنیم.

یک عدد منفی و یک عدد مثبت داریم؛ بنابراین حاصل منفی است.

حالا کسرها را ضرب می‌کنیم:

$$
-\frac{7\times18}{12\times35}
$$

حالا قبل از ضرب کامل، ساده می‌کنیم:

$$
\frac{18}{12}=\frac{3}{2}
$$

بنابراین:

$$
-\frac{21}{70}
-\frac{3}{10}
$$

پاسخ:

$$
\boxed{-\frac{3}{10}}
$$

ب) عبارت دوم

هر دو عدد منفی هستند. حاصل ضرب دو عدد منفی، مثبت است.

$$
+\frac{15\times11}{22\times25}
$$

حالا ساده می‌کنیم:

$$
\frac{11}{22}=\frac{1}{2}
$$

و:

$$
\frac{15}{25}=\frac{3}{5}
$$

پس:

$$
\frac{3}{10}
$$

پاسخ:

$$
\boxed{\frac{3}{10}}
$$

ج) عبارت سوم

در این قسمت یک عدد مثبت و یک عدد منفی داریم. بنابراین حاصل منفی است.

در تقسیم کسرها، کسر دوم را معکوس می‌کنیم و ضرب می‌کنیم:

$$
\frac{9}{14}\times\left(-\frac{28}{27}\right)
$$

حالا ساده می‌کنیم:

$$
\frac{28}{14}=2
$$

بنابراین:

$$
-\frac{18}{27}
-\frac{2}{3}
$$

پاسخ:

$$
\boxed{-\frac{2}{3}}
$$

د) عبارت چهارم

در این قسمت هر دو عدد منفی هستند.

در تقسیم دو عدد هم‌علامت، حاصل مثبت می‌شود.

$$
\frac{16}{21}\times\frac{15}{8}
$$

حالا ساده می‌کنیم:

$$
\frac{16}{8}=2
$$

پس:

$$
\frac{30}{21}
\frac{10}{7}
$$

پاسخ:

$$
\boxed{\frac{10}{7}}
$$

پاسخ نهایی سؤال ۱

$$
\boxed{-\frac{3}{10},\quad \frac{3}{10},\quad -\frac{2}{3},\quad \frac{10}{7}}
$$

سؤال ۲

عدد a عددی گویا و ناصفر است. اگر:

$$
a = \left( { – \frac{3}{5}} \right) \times \left( { + \frac{{10}}{9}} \right)
$$

الف) مقدار a را پیدا کنید.

ب) معکوس a را بنویسید.

ج) حاصل ضرب a در معکوسش را محاسبه کنید.

د) آیا عدد صفر نیز چنین خاصیتی دارد؟ چرا؟

الف) مقدار a را پیدا کنید

ابتدا عبارت را داریم:

$$
a=
\left(-\frac{3}{5}\right)\times\left(+\frac{10}{9}\right)
$$

یکی منفی و دیگری مثبت است؛ پس حاصل منفی می‌شود.

$$
a=-\frac{3\times10}{5\times9}
$$

کسر را ساده می‌کنیم:

$$
a=-\frac{30}{45}
$$

بنابراین:

$$
\boxed{a=-\frac{2}{3}}
$$

ب) معکوس a را بنویسید

برای پیدا کردن معکوس یک کسر، جای صورت و مخرج را عوض می‌کنیم.

پس معکوس عدد زیر:

$$
-\frac{2}{3}
$$

برابر است با:

$$
\boxed{-\frac{3}{2}}
$$

دقت کن که علامت منفی سر جایش می‌ماند؛ فقط صورت و مخرج جایشان را عوض می‌کنند.

ج) حاصل ضرب a در معکوسش

حالا عدد a را در معکوسش ضرب می‌کنیم:

$$
\left(-\frac{2}{3}\right)\times\left(-\frac{3}{2}\right)
$$

دو عدد منفی هستند، پس حاصل مثبت است:

$$
\frac{2\times3}{3\times2}=1
$$

بنابراین:

$$
\boxed{1}
$$

پس هر عدد گویای ناصفر را در معکوس خودش ضرب کنیم، حاصل ۱ می‌شود.

به زبان ریاضی:

$$
a\times\frac{1}{a}=1
$$

البته به شرط اینکه:

$$
a\neq0
$$

د) آیا عدد صفر نیز چنین خاصیتی دارد؟ چرا؟

خیر.

عدد صفر معکوس ندارد.

چرا؟

چون اگر بخواهیم عددی پیدا کنیم که وقتی در صفر ضرب شد، حاصل ۱ شود، چنین عددی وجود ندارد.

چون:

$$
0\times a=0
$$

هر عددی را که در صفر ضرب کنیم، حاصل صفر می‌شود؛ هیچ‌وقت ۱ نمی‌شود.

بنابراین:

$$
0\times a\neq1
$$

پس صفر معکوس ندارد.

نتیجه: هر عدد گویای ناصفر معکوس دارد، اما صفر معکوس ندارد.

سؤال ۳ – پیدا کردن مقدار x

مقدار x را در هر قسمت پیدا کنید:

$$
x \times \left( { – \frac{3}{5}} \right) = \frac{9}{{10}}
$$

$$
x \div \left( { – \frac{4}{7}} \right) = – \frac{{21}}{8}
$$

$$
– \frac{5}{6} \div x = \frac{5}{4}
$$

$$
\left( { – \frac{2}{3}} \right)x = – \frac{8}{{15}}
$$

الف) مقدار x در معادله اول

داریم:

$$
x\times\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{9}{10}
$$

برای اینکه x تنها بماند، دو طرف را بر عدد منفی سه‌پنجم تقسیم می‌کنیم:

$$
x=
\frac{9}{10}\div\left(-\frac{3}{5}\right)
$$

تقسیم را به ضرب در معکوس تبدیل می‌کنیم:

$$
x=
\frac{9}{10}\times\left(-\frac{5}{3}\right)
$$

حالا ساده می‌کنیم:

$$
x=-\frac{45}{30}
$$

پس:

$$
\boxed{x=-\frac{3}{2}}
$$

ب) مقدار x در معادله دوم

داریم:

$$
x\div\left(-\frac{4}{7}\right)=-\frac{21}{8}
$$

برای پیدا کردن x، دو طرف را در عددی که x بر آن تقسیم شده، یعنی منفی چهار هفتم، ضرب می‌کنیم:

$$
x=
-\frac{21}{8}\times\left(-\frac{4}{7}\right)
$$

دو عدد منفی هستند، پس حاصل مثبت می‌شود:

$$
x=\frac{21\times4}{8\times7}
$$

ساده می‌کنیم:

$$
x=\frac{3\times4}{8}
$$

$$
x=\frac{12}{8}
$$

$$
\boxed{x=\frac{3}{2}}
$$

ج) مقدار x در معادله سوم

داریم:

$$
-\frac{5}{6}\div x=\frac{5}{4}
$$

برای پیدا کردن x می‌توانیم دو طرف را در x ضرب کنیم:

$$
-\frac{5}{6}=x\times\frac{5}{4}
$$

حالا برای تنها ماندن x، دو طرف را در معکوس پنج‌چهارم یعنی چهارپنجم ضرب می‌کنیم:

$$
x=
-\frac{5}{6}\times\frac{4}{5}
$$

عدد ۵ در صورت و مخرج ساده می‌شود:

$$
x=-\frac{4}{6}
$$

پس:

$$
\boxed{x=-\frac{2}{3}}
$$

د) مقدار x در معادله چهارم

داریم:

$$
\left(-\frac{2}{3}\right)x=-\frac{8}{15}
$$

برای به‌دست‌آوردن x، دو طرف را بر منفی دو سوم تقسیم می‌کنیم:

$$
x=
-\frac{8}{15}\div\left(-\frac{2}{3}\right)
$$

تقسیم را به ضرب در معکوس تبدیل می‌کنیم:

$$
x=
-\frac{8}{15}\times\left(-\frac{3}{2}\right)
$$

دو علامت منفی، مثبت می‌شوند:

$$
x=\frac{8\times3}{15\times2}
$$

ساده می‌کنیم:

$$
x=\frac{24}{30}
$$

بنابراین:

$$
\boxed{x=\frac{4}{5}}
$$

جمع‌بندی ضرب و تقسیم عددهای گویا

در ریاضی هشتم درس ضرب و تقسیم عددهای گویا چند نکته مهم وجود دارد که اگر همین‌ها را خوب یاد بگیری، بخش بزرگی از سؤال‌های این مبحث برایت ساده می‌شود.

نکته اول: علامت‌ها را فراموش نکن!

در ضرب و تقسیم، اگر دو عدد هم‌علامت باشند، حاصل مثبت و اگر مختلف‌العلامت باشند، حاصل منفی است.

$$
(+)\times(+)=+
$$

$$
(-)\times(-)=+
$$

$$
(+)\times(-)=-
$$

$$
(-)\times(+) = –
$$

همین قانون برای تقسیم هم برقرار است.

نکته دوم: در تقسیم کسرها، کسر دوم را معکوس کن

مثلاً:

$$
\frac{2}{3}\times\frac{7}{5}
$$

یعنی تقسیم را تبدیل به ضرب می‌کنیم و کسر دوم را معکوس می‌کنیم.

نکته سوم: قبل از ضرب، ساده کن

اگر بتوانی قبل از اینکه صورت و مخرج را در هم ضرب کنی، آن‌ها را ساده کنی، محاسبات خیلی راحت‌تر می‌شوند و احتمال اشتباه هم کمتر می‌شود.

مثلاً به‌جای اینکه مستقیم بنویسیم:

$$
\frac{16}{21}\times\frac{15}{8}
$$

می‌توانیم ۱۶ و ۸ را ساده کنیم:

$$
\frac{2}{21}\times15
$$

و بعد به جواب برسیم.

نکته چهارم: صفر معکوس ندارد

هر عدد ناصفر یک معکوس دارد و حاصل‌ضرب یک عدد در معکوسش برابر ۱ است:

$$
a\times\frac{1}{a}=1
$$

اما برای صفر چنین چیزی ممکن نیست.

نتیجه‌گیری

در این مقاله از آموزش ریاضی هشتم فصل اول ضرب و تقسیم اعداد گویا، ابتدا مفهوم ضرب و تقسیم عددهای گویا را مرور کردیم و بعد سه سؤال را به‌صورت کامل حل کردیم.

در سؤال اول، روی تشخیص علامت و محاسبه ضرب و تقسیم کسرها تمرکز کردیم. در سؤال دوم، مفهوم معکوس عدد گویا و دلیل نداشتن معکوس برای صفر را یاد گرفتیم و در سؤال سوم هم روش پیدا کردن مقدار مجهول در معادله‌های مربوط به ضرب و تقسیم عددهای گویا را تمرین کردیم.

اگر می‌خواهی این مبحث را بهتر یاد بگیری، فقط به خواندن جواب‌ها اکتفا نکن. اول خودت هر سؤال را حل کن و بعد جواب خودت را با راه‌حل مقاله مقایسه کن. همچنین حتماً فیلم تدریس این درس با چاشنی طنز را ببین تا نکات را هم به‌صورت تصویری و هم با توضیح ساده یاد بگیری.